Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x|x| - |x| - 5x$ необходимо раскрыть модули, рассмотрев два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Раскрытие модуля:
Если $x \geq 0$, то $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x \cdot x - x - 5x = x^2 - 6x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$;
$y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$.
Вершина в точке $(3; -9)$. Парабола проходит через точки $(0; 0)$ и $(6; 0)$.

Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x \cdot (-x) - (-x) - 5x = -x^2 + x - 5x = -x^2 - 4x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$;
$y_0 = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) = -4 + 8 = 4$.
Вершина в точке $(-2; 4)$. Парабола проходит через точки $(0; 0)$ и $(-4; 0)$.

2. Построение графика:
График состоит из двух «склеенных» в начале координат кусков парабол. Левее оси $Oy$ — парабола с вершиной $(-2; 4)$, правее — парабола с вершиной $(3; -9)$.

3. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Количество общих точек с графиком зависит от значения $m$:
— При $m < -9$ прямая имеет 1 точку пересечения (с левой ветвью второй параболы).
— При $m = -9$ прямая проходит через вершину правой параболы и имеет 2 точки пересечения.
— При $-9 < m < 0$ прямая имеет 3 точки пересечения.
— При $m = 0$ прямая проходит через точку склейки $(0; 0)$ и корни парабол, имея 3 точки пересечения.
— При $0 < m < 4$ прямая имеет 3 точки пересечения.
— При $m = 4$ прямая проходит через вершину левой параболы и имеет 2 точки пересечения.
— При $m > 4$ прямая имеет 1 точку пересечения.

Таким образом, ровно две общие точки график и прямая имеют при $m = -9$ и $m = 4$.

Ответ: -9; 4

Источник: ФИПИ