Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-14}{(x-3)^2 - 2} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру неравенства. Мы имеем дробь, которая должна быть больше или равна нулю. Заметим, что числитель дроби равен $-14$. Это отрицательное число ($-14 < 0$).

2. Чтобы дробь была неотрицательной ($\geq 0$) при отрицательном числителе, её знаменатель должен быть строго меньше нуля. Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Следовательно, исходное неравенство равносильно условию:
$(x-3)^2 - 2 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $2 = (\sqrt{2})^2$:
$(x-3)^2 - (\sqrt{2})^2 < 0$
$(x-3 - \sqrt{2})(x-3 + \sqrt{2}) < 0$

4. Найдём корни уравнения $(x-3 - \sqrt{2})(x-3 + \sqrt{2}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{2}$
$x_2 = 3 - \sqrt{2}$

5. Воспользуемся методом интервалов. Нанесём найденные точки на числовую прямую. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 3-\sqrt{2})$, $(3-\sqrt{2}; 3+\sqrt{2})$ и $(3+\sqrt{2}; +\infty)$.

Так как перед нами квадратичная функция $f(x) = (x-3)^2 - 2$, графиком которой является парабола с ветвями вверх, то значения функции будут отрицательными между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал:
$3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}$

Или в виде промежутка: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ