Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города В в город А (именно её нам нужно найти). Тогда, так как на обратном пути он увеличил скорость на 10 км/ч по сравнению с путём «туда», скорость на пути из А в В была на 10 км/ч меньше, то есть $(x - 10)$ км/ч.

Шаг 1. Выразим время движения.
Расстояние между городами составляет 60 км.
1) Время, затраченное на путь из А в В: $t_1 = \frac{60}{x - 10}$ (ч).
2) Время, затраченное непосредственно на движение из В в А: $t_{движ} = \frac{60}{x}$ (ч).
3) Общее время на обратный путь складывается из времени движения и времени остановки: $t_2 = \frac{60}{x} + 3$ (ч).

Шаг 2. Составим уравнение.
По условию задачи время на путь «туда» равно времени на путь «обратно» ($t_1 = t_2$):
$\frac{60}{x - 10} = \frac{60}{x} + 3$

Шаг 3. Решим полученное уравнение.
Перенесём все слагаемые в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
$\frac{60}{x - 10} - \frac{60}{x} - 3 = 0$
Разделим всё уравнение на 3 для упрощения расчётов:
$\frac{20}{x - 10} - \frac{20}{x} - 1 = 0$
Приведём к общему знаменателю $x(x - 10)$, учитывая, что $x > 10$ (так как скорость $x-10$ должна быть положительной):
$\frac{20x - 20(x - 10) - x(x - 10)}{x(x - 10)} = 0$
Раскроем скобки в числителе:
$20x - 20x + 200 - x^2 + 10x = 0$
$-x^2 + 10x + 200 = 0$
Умножим на $-1$:
$x^2 - 10x - 200 = 0$

Шаг 4. Найдём корни квадратного уравнения.
Воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$
$\sqrt{D} = 30$
Найдём корни:
$x_1 = \frac{10 + 30}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{10 - 30}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Шаг 5. Анализ результатов.
Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -10$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость на пути из В в А равна 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.

Источник: ФИПИ