Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $x$ в числителе:
$y = \frac{x(x - 3) \cdot |x|}{x - 3}$.
При $x \neq 3$ мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:
$y = x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
а) Если $x \geq 0$ (и учитывая $x \neq 3$), то $|x| = x$. Тогда функция принимает вид: $y = x \cdot x = x^2$.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид: $y = x \cdot (-x) = -x^2$.

Следовательно, график функции представляет собой часть параболы $y = x^2$ при $x \geq 0$ (с выколотой точкой) и часть параболы $y = -x^2$ при $x < 0$.

4. Нахождение координат "выколотой" точки.
Так как $x \neq 3$, подставим это значение в упрощенное выражение для правой ветви ($y = x^2$):
$y(3) = 3^2 = 9$.
Значит, точка с координатами $(3; 9)$ будет отсутствовать на графике.

5. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая не пересекает график.
- График функции $y = x \cdot |x|$ при $x \neq 3$ непрерывно возрастает от $-\infty$ до $+\infty$, за исключением "разрыва" в выколотой точке.
- Единственное значение $y$, которое не достигается функцией из-за ограничения $x \neq 3$, — это ордината выколотой точки, то есть $y = 9$.
- Таким образом, прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком только тогда, когда она проходит через выколотую точку.

Следовательно, $m = 9$.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ