Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города В в город А. Именно эту величину нам необходимо найти по условию задачи.

Тогда скорость велосипедиста на пути из А в В была на 2 км/ч меньше, то есть она составляла $(x - 2)$ км/ч.

1. Составим выражение для времени, затраченного на путь из А в В. Так как расстояние равно 224 км, а скорость равна $(x - 2)$ км/ч, то время равно:
$t_1 = \frac{224}{x - 2}$ (часов).

2. Составим выражение для времени, затраченного на обратный путь из В в А. Велосипедист ехал со скоростью $x$ км/ч, значит, время в движении составило $\frac{224}{x}$ часов. Также он сделал остановку на 2 часа. Общее время на обратный путь составило:
$t_2 = \frac{224}{x} + 2$ (часов).

3. По условию задачи время на путь туда и время на путь обратно равны ($t_1 = t_2$). Составим уравнение:
$\frac{224}{x - 2} = \frac{224}{x} + 2$

4. Решим полученное уравнение. Для этого перенесём все слагаемые в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
$\frac{224}{x - 2} - \frac{224}{x} - 2 = 0$
$\frac{224x - 224(x - 2) - 2x(x - 2)}{x(x - 2)} = 0$
$\frac{224x - 224x + 448 - 2x^2 + 4x}{x(x - 2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю ($x \neq 0$ и $x \neq 2$):
$-2x^2 + 4x + 448 = 0$
Разделим обе части уравнения на $-2$, чтобы упростить вычисления:
$x^2 - 2x - 224 = 0$

5. Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224) = 4 + 896 = 900$
$\sqrt{D} = 30$
$x_1 = \frac{2 + 30}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{2 - 30}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

6. Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x = -14$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость на пути из В в А равна 16 км/ч.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ