Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода при движении по течению равна $(34 + x)$ км/ч, а при движении против течения — $(34 - x)$ км/ч. По условию задачи скорость теплохода в неподвижной воде положительна, а скорость течения меньше скорости теплохода, поэтому $0 < x < 34$.

1. Найдём чистое время теплохода в пути.
Общее время от момента отплытия до возвращения составляет 36 часов. Из этого времени 19 часов теплоход стоял. Значит, в движении он находился:
$36 - 19 = 17$ (часов).

2. Составим уравнение.
Расстояние в одну сторону составляет 285 км. Время, затраченное на путь по течению, равно $\frac{285}{34 + x}$, а время на обратный путь против течения — $\frac{285}{34 - x}$. Сумма этих времён равна общему времени в пути:
$\frac{285}{34 + x} + \frac{285}{34 - x} = 17$

3. Решим полученное уравнение.
Приведём дроби к общему знаменателю $(34 + x)(34 - x) = 34^2 - x^2 = 1156 - x^2$:
$\frac{285(34 - x) + 285(34 + x)}{1156 - x^2} = 17$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{9690 - 285x + 9690 + 285x}{1156 - x^2} = 17$
$\frac{19380}{1156 - x^2} = 17$

Разделим обе части уравнения на 17, чтобы упростить вычисления:
$\frac{1140}{1156 - x^2} = 1$
Отсюда следует:
$1156 - x^2 = 1140$
$x^2 = 1156 - 1140$
$x^2 = 16$

Уравнение имеет два корня: $x = 4$ и $x = -4$.
Так как скорость течения реки не может быть отрицательной, нам подходит только $x = 4$.

Таким образом, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ