Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста (который едет медленнее). Тогда скорость первого велосипедиста, по условию задачи, равна $x + 9$ км/ч.

Оба велосипедиста преодолели дистанцию в $112$ км. Вспомним формулу времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость.

1) Время, затраченное вторым велосипедистом: $t_2 = \frac{112}{x}$ ч.
2) Время, затраченное первым велосипедистом: $t_1 = \frac{112}{x + 9}$ ч.

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на $4$ часа раньше второго. Это значит, что время второго велосипедиста больше времени первого на $4$ часа. Составим уравнение:
$\frac{112}{x} - \frac{112}{x + 9} = 4$

Разделим обе части уравнения на $4$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{28}{x} - \frac{28}{x + 9} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 9)$:
$\frac{28(x + 9) - 28x}{x(x + 9)} = 1$
$\frac{28x + 252 - 28x}{x^2 + 9x} = 1$
$\frac{252}{x^2 + 9x} = 1$

Перейдем к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 0$):
$x^2 + 9x = 252$
$x^2 + 9x - 252 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089$
$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-9 + 33}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-9 - 33}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -21$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость второго велосипедиста равна $12$ км/ч.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ