Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.

2. Упростим выражение функции. В числителе вынесем общий множитель $0,5x$ за скобки:
$y = \frac{0,5x(x - 4) \cdot |x|}{x - 4}$.
При условии $x \neq 4$ мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:
$y = 0,5x \cdot |x|$.

3. Раскроем модуль по определению:
— Если $x \geq 0$ (и $x \neq 4$), то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 0,5x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
— Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -0,5x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Построим график. Он состоит из двух частей:
— Правая часть: парабола $y = 0,5x^2$ при $x \geq 0$, но в точке $x = 4$ на графике будет «выколотая» точка. Найдем её координату $y$:
$y(4) = 0,5 \cdot 4^2 = 0,5 \cdot 16 = 8$. Значит, точка $(4; 8)$ не принадлежит графику.
— Левая часть: парабола $y = -0,5x^2$ при $x < 0$.
График проходит через начало координат $(0; 0)$, так как обе части функции в этой точке стыкуются.

5. Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) не имеет с графиком ни одной общей точки:
— Прямая $y = m$ не будет пересекать график, если она пройдет через «выколотую» точку $(4; 8)$. Это происходит при $m = 8$.
— Во всех остальных случаях горизонтальная прямая будет пересекать либо левую, либо правую ветвь графика, так как область значений функции $y = 0,5x \cdot |x|$ при $x \neq 4$ — это все действительные числа, кроме $y = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ