Задание №22 — Функции

Решение.

Функция задана кусочно. Построим её график, рассмотрев каждую часть отдельно.

1. Часть $y = -x^2 + 6x - 9$ при $x \ge 2$.
Выделим полный квадрат: $y = -(x^2 - 6x + 9) = -(x-3)^2$.
Это парабола с ветвями вниз и вершиной $(3; 0)$.
На границе при $x = 2$: $y = -(2-3)^2 = -1$, то есть графику принадлежит точка $(2; -1)$.
При $x = 4$: $y = -(4-3)^2 = -1$; при $x \to +\infty$ значения $y \to -\infty$.
Итак, на промежутке $[2; 3]$ функция возрастает от $-1$ до $0$, а при $x > 3$ убывает от $0$ до $-\infty$.

2. Часть $y = -x$ при $x < 2$.
Это луч прямой. При $x = 0$: $y = 0$; при $x = 1$: $y = -1$.
Когда $x \to 2^-$, значение $y \to -2$, причём точка $(2; -2)$ — «выколотая» (неравенство строгое). Значит, на этой части $y > -2$, и каждое значение $y > -2$ достигается ровно один раз.

3. Число общих точек с прямой $y = m$.
Для параболической части уравнение $-(x-3)^2 = m$ даёт $x = 3 \pm \sqrt{-m}$ (при $m \le 0$); при этом корень $x = 3 + \sqrt{-m} \ge 2$ годится всегда, а корень $x = 3 - \sqrt{-m}$ удовлетворяет условию $x \ge 2$ лишь при $m \ge -1$.
Для прямой части $y = -x$ при $x < 2$ точка есть тогда и только тогда, когда $x = -m < 2$, то есть при $m > -2$.
Соберём результаты:
— при $m > 0$: парабола общих точек не даёт, прямая даёт 1 точку — всего 1;
— при $m = 0$: парабола — вершина $(3; 0)$ (1 точка), прямая $x = 0$ (1 точка) — всего 2;
— при $-1 < m < 0$: парабола даёт 2 точки, прямая 1 — всего 3;
— при $m = -1$: парабола $x = 2$ и $x = 4$ (2 точки), прямая $x = 1$ (1 точка) — всего 3;
— при $-2 < m < -1$: у параболы годится только $x = 3 + \sqrt{-m}$ (1 точка), прямая даёт 1 точку — всего 2;
— при $m = -2$: прямая точки не даёт ($x = 2$ не входит), парабола 1 точка — всего 1;
— при $m < -2$: парабола 1 точка, прямой нет — всего 1.

Таким образом, ровно две общие точки график и прямая имеют при $-2 < m < -1$ и при $m = 0$.

Ответ: $-2 < m < -1$; $m = 0$.