Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -3$ функция имеет вид $y = -x^2 - 2x + 2$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.
$y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$.
Вершина находится в точке $(-1; 3)$.
Вычислим значения функции на границе и в некоторых точках:
При $x = -3$: $y = -(-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$. Точка $(-3; -1)$.
При $x = 0$: $y = 2$. Точка $(0; 2)$.
При $x = 1$: $y = -1 - 2 + 2 = -1$. Точка $(1; -1)$.

2) На промежутке $x < -3$ функция имеет вид $y = -x - 2$.
Это линейная функция, графиком которой является прямая.
Найдем значения в паре точек для построения:
При $x = -4$: $y = -(-4) - 2 = 4 - 2 = 2$. Точка $(-4; 2)$.
При $x = -5$: $y = -(-5) - 2 = 5 - 2 = 3$. Точка $(-5; 3)$.
Заметим, что при приближении к границе $x = -3$ значение $y$ стремится к $-(-3) - 2 = 1$. Точка $(-3; 1)$ будет "выколотой" для этой части графика, так как неравенство строгое.

3) Построим график. Он состоит из луча прямой, идущего до точки $(-3; 1)$, и части параболы, начинающейся в точке $(-3; -1)$ и уходящей вправо.

4) Определим количество общих точек графика с горизонтальной прямой $y = m$:
- При $m < -1$ прямая пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).
- При $m = -1$ прямая проходит через точку $(-3; -1)$ и пересекает правую ветвь параболы (2 точки).
- При $-1 < m < 1$ прямая пересекает две ветви параболы (2 точки).
- При $m = 1$ прямая проходит через "выколотую" точку прямой, пересекает две ветви параболы и не имеет точки на луче (2 точки).
- При $1 < m < 3$ прямая пересекает луч прямой и две ветви параболы (3 точки).
- При $m = 3$ прямая пересекает луч прямой и касается вершины параболы (2 точки).
- При $m > 3$ прямая пересекает только луч прямой (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются при $m \in [-1; 1]$ и при $m = 3$.

Ответ: [-1; 1], 3

Источник: ФИПИ