Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \ge 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным, так как «минус на минус дает плюс». При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$:
$(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) < 0$

4. Найдем корни уравнения $(x-3 - \sqrt{5})(x-3 + \sqrt{5}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x_2 = 3 - \sqrt{5}$

5. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Рассмотрим параболу $y = (x-3)^2 - 5$. Ветви параболы направлены вверх (коэффициент перед $x^2$ положителен), значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

6. Следовательно, решением неравенства является интервал:
$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$

Запишем это в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ