Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$.

Шаг 1. Анализ знака дроби.
Дробь больше или равна нулю, когда её числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).
В нашем случае числитель равен $-10$. Это отрицательное число ($-10 < 0$).
Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель обязан быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Шаг 2. Переход к неравенству для знаменателя.
Следовательно, исходное неравенство равносильно условию:
$(x-3)^2 - 5 < 0$

Шаг 3. Решение полученного неравенства.
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$:
$(x-3)^2 - (\sqrt{5})^2 < 0$
$(x - 3 - \sqrt{5})(x - 3 + \sqrt{5}) < 0$

Шаг 4. Метод интервалов.
Найдём корни выражения в левой части, приравняв каждую скобку к нулю:
1) $x - 3 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_1 = 3 + \sqrt{5}$
2) $x - 3 + \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_2 = 3 - \sqrt{5}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. Так как перед $x^2$ стоит положительный коэффициент (после раскрытия скобок будет $x^2 - 6x + 4$), ветви параболы направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решением является интервал:
$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$

Или в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ