Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-14}{(x-3)^2 - 2} \geq 0$.

1. Проанализируем структуру неравенства. Мы имеем дробь, которая должна быть больше или равна нулю. Заметим, что числитель дроби равен $-14$. Это отрицательное число ($-14 < 0$).

2. Чтобы дробь была неотрицательной ($\geq 0$) при отрицательном числителе, её знаменатель должен быть строго меньше нуля. Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Следовательно, исходное неравенство равносильно условию:
$(x-3)^2 - 2 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим число $2$ как $(\sqrt{2})^2$:
$(x-3)^2 - (\sqrt{2})^2 < 0$
$(x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2}) < 0$

4. Найдём корни уравнения $(x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2}) = 0$:
$x_1 = 3 + \sqrt{2}$
$x_2 = 3 - \sqrt{2}$

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки будут "выколотыми" (пустыми), так как неравенство строгое ($<$).
Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 3 - \sqrt{2})$, $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$ и $(3 + \sqrt{2}; +\infty)$.

6. Определим знак выражения $(x-3)^2 - 2$ на каждом интервале:
— На интервале $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$ выражение принимает отрицательные значения (например, при $x = 3$ получим $(3-3)^2 - 2 = -2 < 0$).
— На крайних интервалах выражение будет положительным.

7. Нам подходит интервал, где выражение меньше нуля, то есть:
$3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}$

Запишем это в виде промежутка: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ