Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом разложения на множители с помощью группировки слагаемых. Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:

$x^{3} + 4x^{2} - 9x - 36 = 0$

Шаг 1. Группировка.
Сгруппируем слагаемые парами: первое со вторым и третье с четвёртым:
$(x^{3} + 4x^{2}) + (-9x - 36) = 0$

Шаг 2. Вынесение общих множителей.
Из первой скобки вынесем общий множитель $x^{2}$, а из второй скобки вынесем $-9$:
$x^{2}(x + 4) - 9(x + 4) = 0$

Шаг 3. Вынесение общей скобки.
Теперь мы видим общий множитель $(x + 4)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 4)(x^{2} - 9) = 0$

Шаг 4. Разложение разности квадратов.
Заметим, что во второй скобке стоит разность квадратов: $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x + 4)(x - 3)(x + 3) = 0$

Шаг 5. Решение простейших уравнений.
Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x + 4 = 0 \Rightarrow x_{1} = -4$
2) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_{2} = 3$
3) $x + 3 = 0 \Rightarrow x_{3} = -3$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -4; -3; 3

Источник: ФИПИ