Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель, приняв за неизвестную величину искомую скорость.

1. Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города А в город В. Тогда, по условию задачи, на обратном пути (из В в А) его скорость была на 9 км/ч больше, то есть она равна $x + 9$ км/ч. Поскольку скорость не может быть отрицательной, $x > 0$.

2. Расстояние между городами составляет 112 км. Выразим время, затраченное на каждый из путей:
— Время на путь из А в В: $t_1 = \frac{112}{x}$ часов.
— Время, проведенное непосредственно в движении на обратном пути: $t_{движ} = \frac{112}{x + 9}$ часов.

3. Известно, что на обратном пути велосипедист сделал остановку на 4 часа, и итоговое время, затраченное на путь из В в А, оказалось равным времени $t_1$. Составим уравнение:
$\frac{112}{x + 9} + 4 = \frac{112}{x}$

4. Решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$\frac{112}{x} - \frac{112}{x + 9} - 4 = 0$
Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения вычислений:
$\frac{28}{x} - \frac{28}{x + 9} - 1 = 0$
Приведем к общему знаменателю $x(x + 9)$:
$\frac{28(x + 9) - 28x - x(x + 9)}{x(x + 9)} = 0$
$\frac{28x + 252 - 28x - x^2 - 9x}{x(x + 9)} = 0$
$\frac{-x^2 - 9x + 252}{x(x + 9)} = 0$

5. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$-x^2 - 9x + 252 = 0$
Умножим на $-1$:
$x^2 + 9x - 252 = 0$

6. Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089$
$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

7. Вычислим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-9 + 33}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-9 - 33}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

8. Так как скорость велосипедиста должна быть положительной величиной, корень $x_2 = -21$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость из А в В равна 12 км/ч.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ