Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $B C$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $C D$ .
Точка $K$ $—$ середина стороны $B C$ . Докажите, что $D K$ $—$ биссектриса
угла $A D C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим условие задачи. Нам дан параллелограмм $ABCD$ , в котором сторона $BC$ в два раза больше стороны $CD$ . Точка $K$ является серединой стороны $BC$ . Это означает, что отрезок $BC$ делится точкой $K$ на две равные части: $BK = KC$ .

2. Так как по условию $BC = 2 \cdot CD$ , а точка $K$ — середина $BC$ , то длина отрезка $KC$ равна половине $BC$ . Следовательно, $KC = \frac{1}{2} BC = CD$ .

3. Рассмотрим треугольник $KCD$ . В этом треугольнике стороны $KC$ и $CD$ равны ( $KC = CD$ ), значит, треугольник $KCD$ является равнобедренным с основанием $KD$ .

4. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Следовательно, $\angle CKD = \angle CDK$ .

5. Вспомним свойства параллелограмма: противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Отрезок $KD$ является секущей для параллельных прямых $AD$ и $BC$ . При этом углы $\angle ADK$ и $\angle CKD$ являются накрест лежащими.

6. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle ADK = \angle CKD$ .

7. Теперь сопоставим полученные равенства:
— Из равнобедренного треугольника: $\angle CDK = \angle CKD$ ;
— Из параллельности прямых: $\angle ADK = \angle CKD$ .
Отсюда следует, что $\angle ADK = \angle CDK$ .

8. Так как луч $DK$ делит угол $ADC$ на два равных угла ( $\angle ADK$ и $\angle CDK$ ), то по определению $DK$ является биссектрисой угла $ADC$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ