Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим условие задачи. Нам дан параллелограмм $ABCD$, в котором сторона $BC$ в два раза больше стороны $CD$. Точка $K$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что отрезок $BC$ делится точкой $K$ на две равные части: $BK = KC$.

2. Так как по условию $BC = 2 \cdot CD$, а точка $K$ — середина $BC$, то длина отрезка $KC$ равна половине $BC$. Следовательно, $KC = \frac{1}{2} BC = CD$.

3. Рассмотрим треугольник $KCD$. В этом треугольнике стороны $KC$ и $CD$ равны ($KC = CD$), значит, треугольник $KCD$ является равнобедренным с основанием $KD$.

4. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Следовательно, $\angle CKD = \angle CDK$.

5. Вспомним свойства параллелограмма: противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Отрезок $KD$ является секущей для параллельных прямых $AD$ и $BC$. При этом углы $\angle ADK$ и $\angle CKD$ являются накрест лежащими.

6. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle ADK = \angle CKD$.

7. Теперь сопоставим полученные равенства:
— Из равнобедренного треугольника: $\angle CDK = \angle CKD$;
— Из параллельности прямых: $\angle ADK = \angle CKD$.
Отсюда следует, что $\angle ADK = \angle CDK$.

8. Так как луч $DK$ делит угол $ADC$ на два равных угла ($\angle ADK$ и $\angle CDK$), то по определению $DK$ является биссектрисой угла $ADC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ