Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (x - 2)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Перепишем уравнение:

$(x^{2})^{2} = (x - 2)^{2}$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы воспользоваться формулой разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:

$(x^{2})^{2} - (x - 2)^{2} = 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x^{2} - (x - 2))(x^{2} + (x - 2)) = 0$

Раскроем внутренние скобки:

$(x^{2} - x + 2)(x^{2} + x - 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x^{2} - x + 2 = 0$
Найдём дискриминант: $D = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Так как $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

2) $x^{2} + x - 2 = 0$
Найдём корни с помощью дискриминанта: $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Вычислим корни:
$x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $-2$ и $1$.

Ответ: -2; 1

Источник: ФИПИ