Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $A D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A B$ .
Точка $M$ $—$ середина стороны $A D$ . Докажите, что $B M$ $—$ биссектриса
угла $A B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. По условию задачи сторона $AD$ в два раза больше стороны $AB$ . Это можно записать в виде равенства: $AD = 2 \cdot AB$ .

2. Точка $M$ является серединой стороны $AD$ . Следовательно, отрезки $AM$ и $MD$ равны между собой и каждый из них равен половине стороны $AD$ : $AM = MD = \frac{1}{2} AD$ .

3. Подставим значение $AD$ из первого пункта во второе равенство: $AM = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AB) = AB$ . Таким образом, мы получили, что в треугольнике $ABM$ стороны $AB$ и $AM$ равны: $AB = AM$ .

4. Треугольник $ABM$ , у которого две стороны равны, является равнобедренным. По свойству равнобедренного треугольника углы при его основании $BM$ равны: $\angle ABM = \angle AMB$ .

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны ( $BC \parallel AD$ ). Отрезок $BM$ является секущей для этих параллельных прямых.

6. Углы $\angle CBM$ и $\angle AMB$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BM$ . По свойству параллельных прямых такие углы равны: $\angle CBM = \angle AMB$ .

7. Теперь сопоставим результаты: из пункта 4 мы знаем, что $\angle ABM = \angle AMB$ , а из пункта 6 — что $\angle CBM = \angle AMB$ . Следовательно, $\angle ABM = \angle CBM$ .

8. Так как луч $BM$ делит угол $ABC$ на два равных угла, он является биссектрисой этого угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ