Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. По условию задачи сторона $AD$ в два раза больше стороны $AB$. Это можно записать в виде равенства: $AD = 2 \cdot AB$.

2. Точка $M$ является серединой стороны $AD$. Следовательно, отрезки $AM$ и $MD$ равны между собой и каждый из них равен половине стороны $AD$: $AM = MD = \frac{1}{2} AD$.

3. Подставим значение $AD$ из первого пункта во второе равенство: $AM = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AB) = AB$. Таким образом, мы получили, что в треугольнике $ABM$ стороны $AB$ и $AM$ равны: $AB = AM$.

4. Треугольник $ABM$, у которого две стороны равны, является равнобедренным. По свойству равнобедренного треугольника углы при его основании $BM$ равны: $\angle ABM = \angle AMB$.

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Отрезок $BM$ является секущей для этих параллельных прямых.

6. Углы $\angle CBM$ и $\angle AMB$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BM$. По свойству параллельных прямых такие углы равны: $\angle CBM = \angle AMB$.

7. Теперь сопоставим результаты: из пункта 4 мы знаем, что $\angle ABM = \angle AMB$, а из пункта 6 — что $\angle CBM = \angle AMB$. Следовательно, $\angle ABM = \angle CBM$.

8. Так как луч $BM$ делит угол $ABC$ на два равных угла, он является биссектрисой этого угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ