Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $A D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A B$ .
Точка $M$ $—$ середина стороны $A D$ . Докажите, что $B M$ $—$ биссектриса
угла $A B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. По условию задачи сторона $AD$ в два раза больше стороны $AB$ . Это можно записать в виде равенства: $AD = 2 \cdot AB$ .

2. Точка $M$ является серединой стороны $AD$ . Следовательно, отрезки $AM$ и $MD$ равны между собой и каждый из них равен половине стороны $AD$ : $AM = MD = \frac{1}{2} AD$ .

3. Подставим значение $AD$ из первого пункта во второе равенство: $AM = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AB) = AB$ . Таким образом, мы получили, что в треугольнике $ABM$ стороны $AB$ и $AM$ равны: $AB = AM$ .

4. Треугольник $ABM$ , у которого две стороны равны, является равнобедренным. По свойству равнобедренного треугольника углы при его основании $BM$ равны: $\angle ABM = \angle AMB$ .

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны ( $BC \parallel AD$ ). Отрезок $BM$ является секущей для этих параллельных прямых.

6. Углы $\angle CBM$ и $\angle AMB$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BM$ . По свойству параллельных прямых такие углы равны: $\angle CBM = \angle AMB$ .

7. Теперь сопоставим результаты: из пункта 4 мы знаем, что $\angle ABM = \angle AMB$ , а из пункта 6 — что $\angle CBM = \angle AMB$ . Следовательно, $\angle ABM = \angle CBM$ .

8. Так как луч $BM$ делит угол $ABC$ на два равных угла, он является биссектрисой этого угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ