Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Проведём через точку $E$ прямую $MN$, перпендикулярную сторонам $AD$ и $BC$, так чтобы точка $M$ лежала на стороне $BC$, а точка $N$ — на стороне $AD$.

2. Отрезок $MN$ является высотой параллелограмма $ABCD$, так как он перпендикулярен параллельным прямым, содержащим его основания. Обозначим длину этого отрезка как $h$. Тогда $MN = h$.

3. Отрезок $EM$ является высотой треугольника $BEC$, опущенной на сторону $BC$. Обозначим его длину как $h_1$.
Отрезок $EN$ является высотой треугольника $AED$, опущенной на сторону $AD$. Обозначим его длину как $h_2$.
Заметим, что $h_1 + h_2 = MN = h$.

4. Вспомним формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота.
Площадь треугольника $BEC$: $S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1$.
Площадь треугольника $AED$: $S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2$.

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны: $AD = BC$. Обозначим их длину как $a$.
Тогда сумма площадей треугольников равна:
$S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (h_1 + h_2)$.

6. Подставим значение $h_1 + h_2 = h$:
$S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.

7. Площадь параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = a \cdot h$.
Следовательно, $S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ