Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (доля кислоты от общей массы), а $y$ — концентрация кислоты во втором растворе. Тогда в первом сосуде содержится $10x$ кг кислоты, а во втором — $16y$ кг кислоты.

1. Рассмотрим первый случай: сливают оба сосуда целиком.
Общая масса смеси составит $10 + 16 = 26$ кг.
Масса кислоты в этой смеси равна $10x + 16y$.
По условию, концентрация полученного раствора равна $55\%$, то есть $0,55$.
Составим первое уравнение:
$10x + 16y = 0,55 \cdot 26$.
$10x + 16y = 14,3$.

2. Рассмотрим второй случай: сливают равные массы этих растворов.
Пусть взяли по $m$ кг каждого раствора. Тогда общая масса смеси равна $2m$ кг.
Масса кислоты в такой смеси составит $m \cdot x + m \cdot y$.
По условию, концентрация этого раствора равна $61\%$, то есть $0,61$.
Составим второе уравнение:
$mx + my = 0,61 \cdot 2m$.
Разделим обе части уравнения на $m$ (так как $m \neq 0$):
$x + y = 1,22$.

3. Решим полученную систему уравнений:
$\begin{cases} 10x + 16y = 14,3 \\ x + y = 1,22 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 1,22 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:
$10x + 16(1,22 - x) = 14,3$
$10x + 19,52 - 16x = 14,3$
$-6x = 14,3 - 19,52$
$-6x = -5,22$
$x = \frac{5,22}{6}$
$x = 0,87$.

4. Найдём массу кислоты в первом растворе.
Поскольку концентрация первого раствора $x = 0,87$, а его масса $10$ кг, то масса кислоты в нём равна:
$10 \cdot 0,87 = 8,7$ кг.

Ответ: 8,7

Источник: ФИПИ