Задание №23 — Геометрия

#47793Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 16$ , $D C = 24$ , $A C = 25$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$ . По условию задачи прямые $AB$ и $DC$ параллельны. При пересечении этих параллельных прямых секущей $AC$ образуются накрест лежащие углы: $\angle MAB = \angle MCD$ . Аналогично, при секущей $BD$ накрест лежащие углы $\angle MBA = \angle MDC$ также равны.

2. Так как два угла треугольника $AMB$ соответственно равны двум углам треугольника $CMD$ , эти треугольники подобны по первому признаку подобия ( $\triangle AMB \sim \triangle CMD$ ).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}$ .

4. Нам известно, что $AC = 25$ . Обозначим искомую длину отрезка $MC$ за $x$ . Тогда длина отрезка $AM$ будет равна $AC - MC$ , то есть $25 - x$ .

5. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{16}{24} = \frac{25 - x}{x}$ .

6. Сократим дробь $\frac{16}{24}$ на $8$ , получим $\frac{2}{3}$ . Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{2}{3} = \frac{25 - x}{x}$ .

7. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2 \cdot x = 3 \cdot (25 - x)$
$2x = 75 - 3x$
$2x + 3x = 75$
$5x = 75$
$x = 75 : 5$
$x = 15$ .

Таким образом, длина отрезка $MC$ равна $15$ .

Ответ: 15

Источник: ФИПИ