Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Точка $H$ является основанием высоты $B H$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ . Окружность
с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $P K$ , если $B H = 13$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$ . По условию задачи, точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$ . Это означает, что отрезки $BP$ и $BK$ являются частями катетов исходного прямоугольного треугольника $ABC$ , а угол $\angle PBK$ (он же угол $\angle ABC$ ) равен $90^{\circ}$ по условию.

2. Рассмотрим треугольник $PBK$ . Угол $\angle PBK$ опирается на хорду $PK$ . Так как $\angle PBK = 90^{\circ}$ и он является вписанным в окружность, то хорда, на которую он опирается, должна быть диаметром этой окружности. Это следует из свойства: вписанный угол, равный $90^{\circ}$ , опирается на диаметр.

3. Таким образом, отрезок $PK$ является диаметром окружности, описанной около треугольника $PBK$ . Но по условию задачи та же самая окружность имеет диаметр $BH$ .

4. В любой окружности все диаметры равны между собой. Следовательно, длина отрезка $PK$ равна длине отрезка $BH$ .

5. По условию $BH = 13$ , значит, $PK = 13$ .

Примечание: Также можно заметить, что $PBKH$ является прямоугольником, так как $\angle PBK = 90^{\circ}$ , а углы $\angle BPH$ и $\angle BKH$ также равны $90^{\circ}$ (как вписанные углы, опирающиеся на диаметр $BH$ ). В прямоугольнике диагонали равны, поэтому $PK = BH$ .

Ответ: 13

Источник: ФИПИ