Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Точка $H$ является основанием высоты $B H$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ . Окружность
с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $P K$ , если $B H = 13$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$ . По условию задачи, точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$ . Это означает, что отрезки $BP$ и $BK$ являются частями катетов исходного прямоугольного треугольника $ABC$ , а угол $\angle PBK$ (он же угол $\angle ABC$ ) равен $90^{\circ}$ по условию.

2. Рассмотрим треугольник $PBK$ . Угол $\angle PBK$ опирается на хорду $PK$ . Так как $\angle PBK = 90^{\circ}$ и он является вписанным в окружность, то хорда, на которую он опирается, должна быть диаметром этой окружности. Это следует из свойства: вписанный угол, равный $90^{\circ}$ , опирается на диаметр.

3. Таким образом, отрезок $PK$ является диаметром окружности, описанной около треугольника $PBK$ . Но по условию задачи та же самая окружность имеет диаметр $BH$ .

4. В любой окружности все диаметры равны между собой. Следовательно, длина отрезка $PK$ равна длине отрезка $BH$ .

5. По условию $BH = 13$ , значит, $PK = 13$ .

Примечание: Также можно заметить, что $PBKH$ является прямоугольником, так как $\angle PBK = 90^{\circ}$ , а углы $\angle BPH$ и $\angle BKH$ также равны $90^{\circ}$ (как вписанные углы, опирающиеся на диаметр $BH$ ). В прямоугольнике диагонали равны, поэтому $PK = BH$ .

Ответ: 13

Источник: ФИПИ