Задание №23 — Геометрия

#47794Задание №23ФИПИ

Окружность и круг

Точка $H$ является основанием высоты $B H$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ . Окружность
с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $P K$ , если $B H = 13$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$ . По условию задачи, точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$ . Это означает, что отрезки $BP$ и $BK$ являются частями катетов исходного прямоугольного треугольника $ABC$ , а угол $\angle PBK$ (он же угол $\angle ABC$ ) равен $90^{\circ}$ по условию.

2. Рассмотрим треугольник $PBK$ . Угол $\angle PBK$ опирается на хорду $PK$ . Так как $\angle PBK = 90^{\circ}$ и он является вписанным в окружность, то хорда, на которую он опирается, должна быть диаметром этой окружности. Это следует из свойства: вписанный угол, равный $90^{\circ}$ , опирается на диаметр.

3. Таким образом, отрезок $PK$ является диаметром окружности, описанной около треугольника $PBK$ . Но по условию задачи та же самая окружность имеет диаметр $BH$ .

4. В любой окружности все диаметры равны между собой. Следовательно, длина отрезка $PK$ равна длине отрезка $BH$ .

5. По условию $BH = 13$ , значит, $PK = 13$ .

Примечание: Также можно заметить, что $PBKH$ является прямоугольником, так как $\angle PBK = 90^{\circ}$ , а углы $\angle BPH$ и $\angle BKH$ также равны $90^{\circ}$ (как вписанные углы, опирающиеся на диаметр $BH$ ). В прямоугольнике диагонали равны, поэтому $PK = BH$ .

Ответ: 13

Источник: ФИПИ