Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Точка $H$ является основанием высоты $B H$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ . Окружность
с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $B H$ , если $P K = 14$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$ . По условию задачи $BH$ является диаметром окружности, а точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности.

2. Угол $BPK$ и угол $BKH$ опираются на дуги окружности, но удобнее рассмотреть углы, опирающиеся на диаметр. Однако в данной задаче проще заметить следующее: так как $BH$ — диаметр, то углы, опирающиеся на него, должны быть прямыми. Но точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CB$ прямого угла $B$ .

3. Рассмотрим угол $PBK$ . По условию треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$ , следовательно, $\angle PBK = 90^\circ$ .

4. Угол $PBK$ является вписанным в окружность. Мы знаем, что вписанный угол, равный $90^\circ$ , опирается на диаметр. Значит, отрезок $PK$ , соединяющий концы сторон этого угла, является диаметром данной окружности.

5. Таким образом, в окружности у нас есть два диаметра: $BH$ (по условию) и $PK$ (по свойству вписанного прямого угла).

6. В любой окружности все диаметры равны между собой. Следовательно, $BH = PK$ .

7. По условию задачи $PK = 14$ , значит, и $BH = 14$ .

Ответ: 14

Источник: ФИПИ