Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$. По условию задачи $BH$ является диаметром окружности, а точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности.

2. Угол $BPK$ и угол $BKH$ опираются на дуги окружности, но удобнее рассмотреть углы, опирающиеся на диаметр. Однако в данной задаче проще заметить следующее: так как $BH$ — диаметр, то углы, опирающиеся на него, должны быть прямыми. Но точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CB$ прямого угла $B$.

3. Рассмотрим угол $PBK$. По условию треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$, следовательно, $\angle PBK = 90^\circ$.

4. Угол $PBK$ является вписанным в окружность. Мы знаем, что вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр. Значит, отрезок $PK$, соединяющий концы сторон этого угла, является диаметром данной окружности.

5. Таким образом, в окружности у нас есть два диаметра: $BH$ (по условию) и $PK$ (по свойству вписанного прямого угла).

6. В любой окружности все диаметры равны между собой. Следовательно, $BH = PK$.

7. По условию задачи $PK = 14$, значит, и $BH = 14$.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ