Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки (скорость в неподвижной воде). По условию задачи скорость течения реки составляет $5$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $x + 5$ км/ч, а скорость лодки против течения равна $x - 5$ км/ч.

1. Сначала найдём время, которое плот находился в пути. Плот движется со скоростью течения реки, то есть $5$ км/ч. По условию плот проплыл $30$ км.
Время движения плота: $t_{плота} = \frac{30}{5} = 6$ часов.

2. Теперь определим время, которое лодка затратила на весь свой путь. Известно, что лодка вышла из пункта А через час после плота и вернулась обратно в тот момент, когда плот проплыл свои $30$ км.
Значит, лодка находилась в движении на $1$ час меньше, чем плот:
$t_{лодки} = 6 - 1 = 5$ часов.

3. Составим уравнение, исходя из времени движения лодки. Расстояние между пристанями А и В равно $60$ км. Лодка прошла $60$ км по течению и $60$ км против течения.
Время в пути по течению: $\frac{60}{x + 5}$.
Время в пути против течения: $\frac{60}{x - 5}$.
Общее время движения лодки равно $5$ часам:
$\frac{60}{x + 5} + \frac{60}{x - 5} = 5$

4. Решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $5$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{12}{x + 5} + \frac{12}{x - 5} = 1$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{12(x - 5) + 12(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1$
$\frac{12x - 60 + 12x + 60}{x^2 - 25} = 1$
$\frac{24x}{x^2 - 25} = 1$
$24x = x^2 - 25$
$x^2 - 24x - 25 = 0$

5. Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант или по теореме Виета:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 = 26^2$
$x_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

6. Так как скорость лодки не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, собственная скорость лодки равна $25$ км/ч.

Ответ: 25 км/ч

Источник: ФИПИ