Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ литров в минуту — скорость наполнения (производительность) первой трубы. Тогда, по условию задачи, вторая труба пропускает на 3 литра в минуту больше, то есть её производительность равна $x + 3$ литров в минуту.

Зная объём резервуара ($260$ литров), выразим время, которое требуется каждой трубе для его заполнения:
1) Время работы первой трубы: $\frac{260}{x}$ минут;
2) Время работы второй трубы: $\frac{260}{x + 3}$ минут.

По условию задачи первая труба заполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Составим уравнение:
$\frac{260}{x} - \frac{260}{x + 3} = 6$

Для решения уравнения приведём дроби к общему знаменателю $x(x + 3)$:
$\frac{260(x + 3) - 260x}{x(x + 3)} = 6$
$\frac{260x + 780 - 260x}{x^2 + 3x} = 6$
$\frac{780}{x^2 + 3x} = 6$

Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения вычислений:
$\frac{130}{x^2 + 3x} = 1$
$x^2 + 3x = 130$
$x^2 + 3x - 130 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529$
$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 + 23}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-3 - 23}{2 \cdot 1} = \frac{-26}{2} = -13$

Так как скорость наполнения трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -13$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первой трубы равна 10 литров в минуту.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ