Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что углы $C C_{1} A_{1}$ и $C A A_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$ . У них общая гипотенуза $AC$ . По свойству прямоугольных треугольников, вершины прямых углов $A_1$ и $C_1$ лежат на окружности, построенной на гипотенузе $AC$ как на диаметре.

2. Таким образом, точки $A$ , $C_1$ , $A_1$ и $C$ лежат на одной окружности. Это означает, что четырёхугольник $AC_1A_1C$ является вписанным в эту окружность.

3. Вспомним свойство вписанных углов: углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

4. Рассмотрим углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ . Оба этих угла являются вписанными в нашу окружность:

— Угол $CC_1A_1$ опирается на дугу $CA_1$ ;
— Угол $CAA_1$ (он же $CAA_1$ ) также опирается на дугу $CA_1$ .

5. Так как оба угла опираются на одну и ту же дугу $CA_1$ , то их величины равны: $\angle CC_1A_1 = \angle CAA_1$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ