Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что углы $C C_{1} A_{1}$ и $C A A_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$ . У них общая гипотенуза $AC$ . По свойству прямоугольных треугольников, вершины прямых углов $A_1$ и $C_1$ лежат на окружности, построенной на гипотенузе $AC$ как на диаметре.

2. Таким образом, точки $A$ , $C_1$ , $A_1$ и $C$ лежат на одной окружности. Это означает, что четырёхугольник $AC_1A_1C$ является вписанным в эту окружность.

3. Вспомним свойство вписанных углов: углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

4. Рассмотрим углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ . Оба этих угла являются вписанными в нашу окружность:

— Угол $CC_1A_1$ опирается на дугу $CA_1$ ;
— Угол $CAA_1$ (он же $CAA_1$ ) также опирается на дугу $CA_1$ .

5. Так как оба угла опираются на одну и ту же дугу $CA_1$ , то их величины равны: $\angle CC_1A_1 = \angle CAA_1$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ