Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$. У них общая гипотенуза $AC$. По свойству прямоугольных треугольников, вершины прямых углов $A_1$ и $C_1$ лежат на окружности, построенной на гипотенузе $AC$ как на диаметре.

2. Таким образом, точки $A$, $C_1$, $A_1$ и $C$ лежат на одной окружности. Это означает, что четырёхугольник $AC_1A_1C$ является вписанным в эту окружность.

3. Вспомним свойство вписанных углов: углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

4. Рассмотрим углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$. Оба этих угла являются вписанными в нашу окружность:

— Угол $CC_1A_1$ опирается на дугу $CA_1$;
— Угол $CAA_1$ (он же $CAA_1$) также опирается на дугу $CA_1$.

5. Так как оба угла опираются на одну и ту же дугу $CA_1$, то их величины равны: $\angle CC_1A_1 = \angle CAA_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ