Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AD = 42$ и $BC = 14$ — основания, $EF$ — отрезок, параллельный основаниям. Точки $E$ и $F$ лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. По условию $CF : DF = 4 : 3$. Это значит, что если мы обозначим одну часть за $x$, то $CF = 4x$, а $DF = 3x$. Тогда вся боковая сторона $CD = CF + DF = 4x + 3x = 7x$.

2) Для решения задачи проведём дополнительное построение: проведём диагональ $AC$. Пусть точка $O$ — точка пересечения диагонали $AC$ и отрезка $EF$. Отрезок $EF$ разбивается на два отрезка: $EO$ и $OF$. Найдём их длины по отдельности.

3) Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $OF$ параллелен основанию $AD$ (так как $EF \parallel AD$). По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $COF$ и $CAD$), имеем:
$\frac{OF}{AD} = \frac{CF}{CD}$.
Подставим известные значения:
$\frac{OF}{42} = \frac{4x}{7x}$
$\frac{OF}{42} = \frac{4}{7}$
$OF = \frac{4 \cdot 42}{7} = 4 \cdot 6 = 24$.

4) Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $EO$ параллелен основанию $BC$. По теореме Фалеса для сторон угла $BCD$ и параллельных прямых, отношение отрезков на стороне $CD$ равно отношению отрезков на стороне $AC$. То есть $\frac{AO}{AC} = \frac{DF}{DC}$.
Из подобия треугольников $AEO$ и $ABC$ (или используя свойства параллельных линий в треугольнике):
$\frac{EO}{BC} = \frac{AO}{AC}$.
Так как $\frac{AO}{AC} = \frac{DF}{DC}$, получаем:
$\frac{EO}{14} = \frac{3x}{7x}$
$\frac{EO}{14} = \frac{3}{7}$
$EO = \frac{3 \cdot 14}{7} = 3 \cdot 2 = 6$.

5) Длина искомого отрезка $EF$ равна сумме длин его частей:
$EF = EO + OF = 6 + 24 = 30$.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ