Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого бегуна. Тогда скорость второго бегуна равна $v + 7$ км/ч. Обозначим длину круговой трассы за $S$ км.

Проанализируем движение первого бегуна. Известно, что через 1 час ($t_1 = 1$) ему оставался 1 км до конца круга. Это значит, что за 1 час он пробежал расстояние $S - 1$ км. Составим уравнение:
$v \cdot 1 = S - 1$, откуда $S = v + 1$.

Теперь проанализируем движение второго бегуна. Ему сообщили, что он пробежал первый круг 20 минут назад. Так как общее время с момента старта составляет 1 час (60 минут), то второй бегун преодолел первый круг за $60 - 20 = 40$ минут. Переведем время в часы: $40$ минут = $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ часа.

Расстояние, которое пробежал второй бегун за $\frac{2}{3}$ часа, равно длине круга $S$. Составим второе уравнение:
$(v + 7) \cdot \frac{2}{3} = S$.

Подставим выражение для $S$ из первого уравнения во второе:
$(v + 7) \cdot \frac{2}{3} = v + 1$.

Решим полученное уравнение. Для этого умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$2(v + 7) = 3(v + 1)$
$2v + 14 = 3v + 3$

Перенесем слагаемые с $v$ в одну сторону, а числа в другую:
$14 - 3 = 3v - 2v$
$v = 11$.

Таким образом, скорость первого бегуна составляет 11 км/ч.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ