Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$. Эти углы являются односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. По свойству параллельных прямых сумма односторонних углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) По условию задачи $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$. Значит, $\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$.

3) Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Найдём сумму углов $FAB$ и $FBA$:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4) Так как сумма двух углов треугольника $ABF$ равна $90^\circ$, то третий угол $\angle AFB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

5) В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой, а $AF$ и $BF$ — катетами. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$.
Подставим известные значения катетов:
$AB^2 = 24^2 + 7^2$;
$AB^2 = 576 + 49$;
$AB^2 = 625$.
Отсюда $AB = \sqrt{625} = 25$.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ