Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения уравнения $x^{3} + 5x^{2} - x - 5 = 0$ воспользуемся методом группировки слагаемых. Это позволит нам разложить левую часть уравнения на множители.

1. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвёртым:
$(x^{3} + 5x^{2}) + (-x - 5) = 0$.

2. Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
В первой группе вынесем $x^{2}$, а во второй группе вынесем $-1$:
$x^{2}(x + 5) - 1(x + 5) = 0$.

3. Теперь мы видим общий множитель $(x + 5)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 5)(x^{2} - 1) = 0$.

4. Заметим, что во второй скобке находится разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x + 5)(x - 1)(x + 1) = 0$.

5. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x + 5 = 0 \Rightarrow x_{1} = -5$;
2) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_{2} = 1$;
3) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_{3} = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -5; -1; 1.

Источник: ФИПИ