Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим трапецию $ABCD$. По условию углы при верхнем основании равны: $\angle ABC = 30^\circ$ и $\angle BCD = 120^\circ$. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, так как основания $BC$ и $AD$ параллельны. Найдем углы при нижнем основании:

$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$;
$\angle ADC = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин верхнего основания к нижнему основанию $AD$. Высоты трапеции равны между собой: $BH = CK = h$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ ($\angle CKD = 90^\circ$). В нем нам известна гипотенуза $CD = 25$ и острый угол $\angle CDK = 60^\circ$. Найдем высоту $h$ через синус угла:

$h = CD \cdot \sin(60^\circ) = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12,5\sqrt{3}$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABH$. В нем $\angle BAH = 150^\circ$ — это тупой угол, значит, высота $BH$ падает на продолжение основания $AD$. Однако для решения удобнее использовать угол $\angle ABH$.
Заметим, что в прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $\angle ABH = \angle ABC - 90^\circ$ (так как $BH \perp AD$, а значит и $BH \perp BC$).
$\angle ABH = 30^\circ$.
Примечание: Если рассматривать стандартное положение высоты внутри трапеции, то $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - \angle BAH$, но так как $\angle BAH$ тупой, воспользуемся соотношением в прямоугольном треугольнике через косинус угла при вершине $B$.

5. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ является прилежащим к углу $\angle ABH = 30^\circ$. Выразим гипотенузу $AB$:

$BH = AB \cdot \cos(30^\circ)$;
$12,5\sqrt{3} = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$12,5 = \frac{AB}{2}$;
$AB = 12,5 \cdot 2 = 25$.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ