Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$. Это значит, что она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD$.

2) Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма параллельны ($BC \parallel AD$). При пересечении этих параллельных прямых секущей $AK$ образуются накрест лежащие углы, которые равны между собой. Таким образом, $\angle KAD = \angle BKA$.

3) Из пунктов 1 и 2 следует, что в треугольнике $ABK$ два угла равны: $\angle BAK = \angle BKA$ (так как оба они равны $\angle KAD$). Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным. Значит, боковые стороны $AB$ и $BK$ равны: $AB = BK = 9$.

4) Теперь найдем длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне и делит её на отрезки $BK = 9$ и $CK = 15$. Следовательно: $BC = BK + CK = 9 + 15 = 24$.

5) В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 9$ и $AD = BC = 24$.

6) Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон: $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (9 + 24) = 2 \cdot 33 = 66$.

Ответ: 66

Источник: ФИПИ