Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. По условию задачи углы $CDB$ и $CAB$ равны. Заметим, что эти углы опираются на один и тот же отрезок $BC$ и их вершины $D$ и $A$ лежат по одну сторону от прямой $BC$.

2. В геометрии существует важный признак: если отрезок $BC$ виден из точек $A$ и $D$, лежащих по одну сторону от него, под равными углами ($\angle CAB = \angle CDB$), то точки $A, B, C, D$ лежат на одной окружности.

3. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным в некоторую окружность.

4. Теперь рассмотрим углы $BCA$ и $BDA$. В данной окружности эти углы являются вписанными. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $AB$.

5. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, $\angle BCA = \angle BDA$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ