Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Проведём две высоты трапеции: $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$ и $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как высоты трапеции перпендикулярны основаниям, то $BH \parallel CK$, и $BH = CK$. Обозначим их длину как $h$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ (угол $K = 90^\circ$). Нам известен угол $BCD = 135^\circ$. Так как основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, то сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Значит, угол $CDK = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

3) В прямоугольном треугольнике $CKD$ угол $KCD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $CKD$ — равнобедренный, и мы можем найти высоту $h$ через синус угла $D$:
$h = CK = CD \cdot \sin(45^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$.

4) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H = 90^\circ$). Нам известен угол $ABC = 60^\circ$. Аналогично предыдущему шагу, сумма углов $ABC$ и $BAH$ равна $180^\circ$. Тогда угол $BAH = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Однако, для решения нам удобнее использовать угол $ABH$. Проведём прямую, параллельную высоте, через точку $B$. Угол между боковой стороной $AB$ и высотой $BH$ внутри трапеции составит: $135^\circ - 90^\circ$ (если бы мы считали от $C$), но проще найти угол $A$ в треугольнике $ABH$.
Угол $BAH = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (внутренние односторонние). Это значит, что трапеция тупоугольная при основании $AD$. Высота $BH$ в таком случае может падать на продолжение основания $AD$. Но стандартно в таких задачах $BC$ — меньшее основание. Найдём $AB$ через высоту $h$, которая нам уже известна: $BH = 18\sqrt{2}$.

5) В треугольнике $ABH$ угол $ABH = ABC - 90^\circ = 60^\circ - 90^\circ$ — это невозможно, значит угол $ABC$ является острым по отношению к высоте. Правильнее использовать соотношение: $BH = AB \cdot \sin(A)$. Так как сумма углов при боковой стороне $180^\circ$, то $\sin(A) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ)$.
Тогда: $AB = \frac{BH}{\sin(60^\circ)}$.

6) Подставим значения:
$AB = \frac{18\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

7) Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$AB = \frac{36\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{6}$.

Ответ: $12\sqrt{6}$

Источник: ФИПИ