Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$. Это значит, что она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD$.

2) Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма параллельны ($BC \parallel AD$), а отрезок $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.

3) Теперь посмотрим на треугольник $ABK$. Мы выяснили, что $\angle BAK = \angle KAD$ (так как $AK$ — биссектриса) и $\angle KAD = \angle BKA$ (как накрест лежащие). Отсюда следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

4) Так как в треугольнике $ABK$ два угла равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, $AB = BK$. По условию $BK = 4$, следовательно, $AB = 4$.

5) Найдём длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне и делит её на отрезки $BK = 4$ и $CK = 19$. Тогда $BC = BK + CK = 4 + 19 = 23$.

6) В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB = CD = 4$ и $BC = AD = 23$. Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон:
$P = 2 \cdot (AB + BC)$
$P = 2 \cdot (4 + 23) = 2 \cdot 27 = 54$.

Ответ: 54

Источник: ФИПИ