Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Для начала заметим, что выражение в скобках в левой части уравнения $x^2 + 2x + 1$ представляет собой формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
Применим её: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.
Теперь перепишем исходное уравнение в виде:
$x(x + 1)^2 = 6(x + 1)$.

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$x(x + 1)^2 - 6(x + 1) = 0$.

3. Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 1) \cdot (x(x + 1) - 6) = 0$.

4. Раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$(x + 1)(x^2 + x - 6) = 0$.

5. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Получаем два случая:
а) $x + 1 = 0$, откуда $x_1 = -1$.
б) $x^2 + x - 6 = 0$.

6. Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$ через дискриминант или по теореме Виета:
По теореме Виета:
Сумма корней $x_2 + x_3 = -1$,
Произведение корней $x_2 \cdot x_3 = -6$.
Методом подбора находим корни: $x_2 = -3$, $x_3 = 2$.

7. Таким образом, уравнение имеет три корня: $-3$, $-1$ и $2$.

Ответ: -3; -1; 2.

Источник: ФИПИ