Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения третьей степени воспользуемся методом группировки слагаемых. Это позволит нам разложить левую часть уравнения на множители.

1. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвёртым:
$(x^{3} + 2x^{2}) + (-x - 2) = 0$

2. Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе общим множителем является $x^{2}$, а во второй группе вынесем $-1$:
$x^{2}(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

3. Теперь мы видим, что в обоих слагаемых появился общий множитель $(x + 2)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 2)(x^{2} - 1) = 0$

4. Заметим, что во второй скобке находится разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x + 2)(x - 1)(x + 1) = 0$

5. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x + 2 = 0 \Rightarrow x_{1} = -2$
2) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_{2} = 1$
3) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_{3} = -1$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -2; -1; 1

Источник: ФИПИ