Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда, согласно условию задачи, скорость второго автомобиля на второй половине пути составляет $v + 7$ км/ч. Скорость второго автомобиля на первой половине пути известна и равна $78$ км/ч.

Обозначим всё расстояние между городами А и В за $2S$. Тогда первая половина пути равна $S$, и вторая половина пути также равна $S$.

1) Составим выражение для времени движения первого автомобиля. Так как он проехал весь путь $2S$ с постоянной скоростью $v$, то его время в пути равно:
$t_1 = \frac{2S}{v}$

2) Составим выражение для времени движения второго автомобиля. Он проехал первую половину пути $S$ со скоростью $78$ км/ч, а вторую половину $S$ со скоростью $v + 7$ км/ч. Его общее время в пути равно сумме времен на этих участках:
$t_2 = \frac{S}{78} + \frac{S}{v + 7}$

3) По условию задачи автомобили прибыли в пункт В одновременно, значит, их времена в пути равны: $t_1 = t_2$.
Получаем уравнение:
$\frac{2S}{v} = \frac{S}{78} + \frac{S}{v + 7}$

4) Разделим обе части уравнения на $S$ (так как расстояние $S \neq 0$):
$\frac{2}{v} = \frac{1}{78} + \frac{1}{v + 7}$

5) Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{2}{v} = \frac{(v + 7) + 78}{78(v + 7)}$
$\frac{2}{v} = \frac{v + 85}{78v + 546}$

6) Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2 \cdot (78v + 546) = v \cdot (v + 85)$
$156v + 1092 = v^2 + 85v$
$v^2 - 71v - 1092 = 0$

7) Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-71)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1092) = 5041 + 4368 = 9409$
$\sqrt{D} = \sqrt{9409} = 97$

8) Находим корни уравнения:
$v_1 = \frac{71 + 97}{2} = \frac{168}{2} = 84$
$v_2 = \frac{71 - 97}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Так как скорость автомобиля должна быть положительной величиной, корень $v_2 = -13$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $84$ км/ч.

Ответ: 84

Источник: ФИПИ