Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения уравнения $x^{3} + 5x^{2} - 9x - 45 = 0$ воспользуемся методом группировки слагаемых. Это позволит нам разложить левую часть уравнения на множители.

Шаг 1. Группировка слагаемых.
Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвёртым:
$(x^{3} + 5x^{2}) + (-9x - 45) = 0$.

Шаг 2. Вынесение общих множителей за скобки.
Из первой скобки вынесем общий множитель $x^{2}$, а из второй скобки вынесем $-9$:
$x^{2}(x + 5) - 9(x + 5) = 0$.

Шаг 3. Вынесение общего многочлена.
Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 5)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 5)(x^{2} - 9) = 0$.

Шаг 4. Дальнейшее разложение (разность квадратов).
Заметим, что выражение во второй скобке $x^{2} - 9$ является разностью квадратов, так как $9 = 3^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x + 5)(x - 3)(x + 3) = 0$.

Шаг 5. Решение простейших уравнений.
Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x + 5 = 0 \Rightarrow x_{1} = -5$;
2) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_{2} = 3$;
3) $x + 3 = 0 \Rightarrow x_{3} = -3$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -5; -3; 3.

Источник: ФИПИ