Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Рассмотрим выражение в левой части уравнения: $x^2 + 2x + 1$. Заметим, что это формула квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Применим её:
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.
Теперь наше уравнение принимает вид:
$x(x + 1)^2 = 2(x + 1)$.

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$x(x + 1)^2 - 2(x + 1) = 0$.

3. Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 1) \cdot (x(x + 1) - 2) = 0$.

4. Упростим выражение во вторых скобках, раскрыв внутренние скобки:
$(x + 1)(x^2 + x - 2) = 0$.

5. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Получаем два случая:

Случай 1:
$x + 1 = 0$
$x_1 = -1$.

Случай 2:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Найдём корни:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$;
$x_3 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-2$, $-1$ и $1$.

Ответ: -2; -1; 1.

Источник: ФИПИ