Задание №24 — Геометрия

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$, рассмотрим их соответствующие стороны и углы.

1. Рассмотрим углы при параллельных прямых. Так как $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), а отрезок $BD$ является секущей, то накрест лежащие углы равны:
$\angle CBD = \angle BDA$.

2. Теперь проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам.
В треугольнике $CBD$ возьмём стороны $BC$ и $BD$.
В треугольнике $BDA$ возьмём стороны $BD$ и $AD$.

3. Вычислим отношения этих сторон:
Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

4. Мы видим, что отношения равны: $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{2}$.
Это означает, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.

5. Таким образом, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Источник: ФИПИ