Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^{2} + y = 5 \\ 6x^{2} - y = 2 \end{cases}$

Шаг 1. Выбор метода решения.
Заметим, что в первом уравнении переменная $y$ входит с коэффициентом $1$, а во втором — с коэффициентом $-1$. В таком случае удобнее всего воспользоваться методом сложения. При сложении левых и правых частей уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится.

Шаг 2. Сложение уравнений.
Сложим уравнения системы:
$(x^{2} + y) + (6x^{2} - y) = 5 + 2$
$x^{2} + 6x^{2} + y - y = 7$
$7x^{2} = 7$

Шаг 3. Нахождение переменной $x$.
Разделим обе части полученного уравнения на $7$:
$x^{2} = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$

Шаг 4. Нахождение переменной $y$.
Для каждого найденного значения $x$ вычислим соответствующее значение $y$. Для этого подставим $x^{2} = 1$ в первое уравнение исходной системы ($x^{2} + y = 5$):
$1 + y = 5$
$y = 5 - 1$
$y = 4$

Так как в обоих случаях ($x = 1$ и $x = -1$) значение $x^{2}$ равно $1$, то значение $y$ для обоих корней будет одинаковым и равным $4$.

Шаг 5. Запись пар решений.
Мы получили две пары чисел $(x; y)$, которые являются решениями системы:
1) При $x = 1$, $y = 4$.
2) При $x = -1$, $y = 4$.

Ответ: (1; 4), (-1; 4)

Источник: ФИПИ