Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$, $BC = a$ — верхнее основание, $AD = b$ — нижнее основание. Обозначим среднюю линию трапеции как $MN$. По свойству средней линии, она параллельна основаниям и делит высоту трапеции пополам.

2. Проведём через точку $F$, лежащую на средней линии, перпендикуляр к основаниям трапеции. Этот перпендикуляр является высотой для треугольников $BFC$ и $AFD$. Обозначим часть этого перпендикуляра от точки $F$ до основания $BC$ как $h_1$, а от точки $F$ до основания $AD$ как $h_2$.

3. Так как точка $F$ лежит на средней линии, которая удалена от обоих оснований на равное расстояние, то высоты треугольников равны половине высоты трапеции: $h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$.

4. Вычислим площадь треугольника $BFC$:
$S_{BFC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{a \cdot h}{4}$.

5. Вычислим площадь треугольника $AFD$:
$S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{b \cdot h}{4}$.

6. Найдем сумму площадей этих треугольников:
$S_{BFC} + S_{AFD} = \frac{a \cdot h}{4} + \frac{b \cdot h}{4} = \frac{(a + b) \cdot h}{4}$.

7. Вспомним формулу площади трапеции $ABCD$:
$S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h$.

8. Заметим, что полученная сумма площадей треугольников в два раза меньше площади трапеции:
$\frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(a + b) \cdot h}{4}$.

Следовательно, $S_{BFC} + S_{AFD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ