Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда, так как скорость первого на $30$ км/ч больше скорости второго, скорость второго автомобиля равна $x - 30$ км/ч.

Оба автомобиля проехали расстояние $S = 540$ км. Выразим время, затраченное каждым автомобилем на путь:
1) Время первого автомобиля: $t_1 = \frac{540}{x}$ ч.
2) Время второго автомобиля: $t_2 = \frac{540}{x - 30}$ ч.

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на $3$ часа раньше второго. Это значит, что время второго автомобиля больше времени первого на $3$ часа. Составим уравнение:
$\frac{540}{x - 30} - \frac{540}{x} = 3$

Разделим обе части уравнения на $3$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{180}{x - 30} - \frac{180}{x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 30)$:
$\frac{180x - 180(x - 30)}{x(x - 30)} = 1$
$\frac{180x - 180x + 5400}{x^2 - 30x} = 1$
$\frac{5400}{x^2 - 30x} = 1$

Перейдем к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 30$):
$x^2 - 30x = 5400$
$x^2 - 30x - 5400 = 0$

Найдем дискриминант уравнения:
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5400) = 900 + 21600 = 22500$
$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$

Вычислим корни уравнения:
$x_1 = \frac{30 + 150}{2} = \frac{180}{2} = 90$
$x_2 = \frac{30 - 150}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $90$ км/ч.

Ответ: 90

Источник: ФИПИ