Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Проведём две высоты трапеции: $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$ и $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны ($BC \parallel AD$), высоты $BH$ и $CK$ равны между собой: $BH = CK$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ (угол $K = 90^\circ$). Нам известно, что угол $BCD = 150^\circ$. Так как $BC \parallel AD$, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Значит, угол $CDK = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

3) В прямоугольном треугольнике $CKD$ катет $CK$ лежит против угла в $30^\circ$. По свойству такого катета, он равен половине гипотенузы $CD$:
$CK = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$.

4) Так как высоты равны, то $BH = CK = 16$.

5) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H = 90^\circ$). Нам дан угол $ABC = 45^\circ$. Однако этот угол — тупой угол трапеции. Найдём острый угол $BAH$ при основании. Сумма углов $ABC$ и $BAH$ равна $180^\circ$ (как односторонние углы при параллельных прямых).
Значит, угол $BAH = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Стоп, в условии сказано, что угол $ABC = 45^\circ$. Это означает, что трапеция имеет нестандартный вид (основания расположены так, что один из углов при верхнем основании острый). В прямоугольном треугольнике $ABH$ воспользуемся определением синуса для угла $A$. Если угол $ABC = 45^\circ$, то угол $BAH = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. В таком случае высота $BH$ падает на продолжение основания $AD$. Угол в треугольнике $ABH$ при вершине $A$ будет равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

6) В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $A = 45^\circ$. Тогда:
$\sin A = \frac{BH}{AB}$
$\sin 45^\circ = \frac{16}{AB}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16}{AB}$

7) Выразим $AB$:
$AB = \frac{16 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{32}{\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$AB = \frac{32 \cdot \sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2}$.

Ответ: $16\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ