Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда скорость баржи при движении по течению реки составляет $(x + 5)$ км/ч, а при движении против течения — $(x - 5)$ км/ч. Заметим, что $x > 5$, так как баржа смогла вернуться обратно против течения.

Составим таблицу для наглядности:

1) По течению: путь $S_1 = 64$ км, скорость $v_1 = x + 5$ км/ч. Время в пути: $t_1 = \frac{64}{x + 5}$ ч.
2) Против течения: путь $S_2 = 48$ км, скорость $v_2 = x - 5$ км/ч. Время в пути: $t_2 = \frac{48}{x - 5}$ ч.

По условию задачи общее время, затраченное на весь путь, составляет $8$ часов. Составим уравнение:
$\frac{64}{x + 5} + \frac{48}{x - 5} = 8$

Разделим обе части уравнения на $8$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{8}{x + 5} + \frac{6}{x - 5} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{8(x - 5) + 6(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1$
$8x - 40 + 6x + 30 = (x + 5)(x - 5)$
$14x - 10 = x^2 - 25$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 14x - 15 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$
$\sqrt{D} = 16$

Находим корни:
$x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Значит, собственная скорость баржи равна $15$ км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ