Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$. По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Вспомним важное свойство вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle KBC + \angle KPC = 180^\circ$.

2. Рассмотрим угол $APK$. Он является смежным с углом $KPC$, поэтому их сумма также равна $180^\circ$.
Отсюда следует, что $\angle APK = 180^\circ - \angle KPC$.
Сравнивая это с предыдущим пунктом, получаем: $\angle APK = \angle KBC$.

3. Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle AKP$ и $\triangle ACB$.
У этих треугольников:
— Угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как мы доказали выше).
Значит, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\triangle AKP \sim \triangle ACB$).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AC}$.

5. Из этого равенства выразим искомую сторону $KP$:
$KP = \frac{AK \cdot BC}{AC}$.

6. По условию задачи $AC = 1,2 \cdot BC$. Подставим это выражение и значение $AK = 18$ в нашу формулу:
$KP = \frac{18 \cdot BC}{1,2 \cdot BC}$.

7. Сократим дробь на $BC$ (так как длина стороны треугольника не равна нулю):
$KP = \frac{18}{1,2} = \frac{180}{12} = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ