Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A K = 18$ , а сторона $A C$ в 1,2 раза больше стороны $B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$ . По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Вспомним важное свойство вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ .
Следовательно, $\angle KBC + \angle KPC = 180^\circ$ .

2. Рассмотрим угол $APK$ . Он является смежным с углом $KPC$ , поэтому их сумма также равна $180^\circ$ .
Отсюда следует, что $\angle APK = 180^\circ - \angle KPC$ .
Сравнивая это с предыдущим пунктом, получаем: $\angle APK = \angle KBC$ .

3. Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle AKP$ и $\triangle ACB$ .
У этих треугольников:
— Угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как мы доказали выше).
Значит, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $\triangle AKP \sim \triangle ACB$ ).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AC}$ .

5. Из этого равенства выразим искомую сторону $KP$ :
$KP = \frac{AK \cdot BC}{AC}$ .

6. По условию задачи $AC = 1,2 \cdot BC$ . Подставим это выражение и значение $AK = 18$ в нашу формулу:
$KP = \frac{18 \cdot BC}{1,2 \cdot BC}$ .

7. Сократим дробь на $BC$ (так как длина стороны треугольника не равна нулю):
$KP = \frac{18}{1,2} = \frac{180}{12} = 15$ .

Ответ: 15

Источник: ФИПИ