Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения третьей степени воспользуемся методом группировки слагаемых. Это позволит нам разложить левую часть уравнения на множители.

1. Сгруппируем слагаемые попарно: первое со вторым и третье с четвёртым:
$(x^{3} + 4x^{2}) + (-x - 4) = 0$

2. Вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой скобки можно вынести $x^{2}$, а из второй — минус единицу ($-1$):
$x^{2}(x + 4) - 1(x + 4) = 0$

3. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых появился общий множитель $(x + 4)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 4)(x^{2} - 1) = 0$

4. Заметим, что во второй скобке находится разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$, так как $1 = 1^{2}$:
$(x + 4)(x - 1)(x + 1) = 0$

5. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю и решим полученные линейные уравнения:
1) $x + 4 = 0 \Rightarrow x_{1} = -4$
2) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_{2} = 1$
3) $x + 1 = 0 \Rightarrow x_{3} = -1$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -4; -1; 1

Источник: ФИПИ