Задание №24 — Геометрия

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$, необходимо найти равные углы или пропорциональные стороны.

1) Рассмотрим углы при параллельных прямых. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$. Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CBD = \angle BDA$.

2) Теперь проверим пропорциональность сторон, которые образуют эти равные углы в треугольниках $CBD$ и $BDA$.
В треугольнике $CBD$ это стороны $BC$ и $BD$.
В треугольнике $BDA$ это стороны $BD$ и $AD$.

3) Вычислим отношения соответствующих сторон:
Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

4) Мы видим, что $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{2}$. Это означает, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.

5) Так как две стороны треугольника $CBD$ пропорциональны двум сторонам треугольника $BDA$, а углы между ними равны ($\angle CBD = \angle BDA$), то треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ