Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Основания $B C$ и $A D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 6 и 24, $B D = 12$ . Докажите, что треугольники $C B D$ и $B D A$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$ , необходимо найти равные углы или пропорциональные стороны.

1) Рассмотрим углы при параллельных прямых. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$ . Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CBD = \angle BDA$ .

2) Теперь проверим пропорциональность сторон, которые образуют эти равные углы в треугольниках $CBD$ и $BDA$ .
В треугольнике $CBD$ это стороны $BC$ и $BD$ .
В треугольнике $BDA$ это стороны $BD$ и $AD$ .

3) Вычислим отношения соответствующих сторон:
Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .
Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ .

4) Мы видим, что $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{2}$ . Это означает, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.

5) Так как две стороны треугольника $CBD$ пропорциональны двум сторонам треугольника $BDA$ , а углы между ними равны ( $\angle CBD = \angle BDA$ ), то треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ