Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 4)^2 < \sqrt{6}(x - 4)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался нуль:
$(x - 4)^2 - \sqrt{6}(x - 4) < 0$.

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части неравенства есть общий множитель $(x - 4)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 4) \cdot ((x - 4) - \sqrt{6}) < 0$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 4)(x - 4 - \sqrt{6}) < 0$.

Шаг 3. Нахождение корней.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки на числовой прямой:
$(x - 4)(x - 4 - \sqrt{6}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$;
2) $x - 4 - \sqrt{6} = 0 \Rightarrow x_2 = 4 + \sqrt{6}$.

Шаг 4. Метод интервалов.
Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как знак неравенства строгий ($<$), точки будут «выколотыми» (пустыми). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) $(-\infty; 4)$
2) $(4; 4 + \sqrt{6})$
3) $(4 + \sqrt{6}; +\infty)$

Определим знак выражения $(x - 4)(x - 4 - \sqrt{6})$ на каждом интервале:
— Возьмём $x = 10$ из правого интервала: $(10-4)(10-4-\sqrt{6}) = 6(6-\sqrt{6})$. Так как $6 > \sqrt{6}$, значение положительно (+).
— Возьмём $x = 5$ из среднего интервала (так как $\sqrt{6} \approx 2,4$, то $4 + \sqrt{6} \approx 6,4$): $(5-4)(5-4-\sqrt{6}) = 1(1-\sqrt{6})$. Так как $1 < \sqrt{6}$, значение отрицательно (–).
— Возьмём $x = 0$ из левого интервала: $(0-4)(0-4-\sqrt{6}) = (-4)(-4-\sqrt{6})$. Произведение двух отрицательных чисел положительно (+).

Шаг 5. Выбор ответа.
Нам нужно найти промежутки, где выражение меньше нуля (знак «–»). Это интервал от $4$ до $4 + \sqrt{6}$.

Ответ: $(4; 4 + \sqrt{6})$

Источник: ФИПИ